Треугольник Паскаля

Региональный этап Российской научной конференции
школьников «Открытие»



Секция математика


Треугольник Паскаля

Исследовательская работа



Выполнена ученицей
8а класса Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения « Засосенская средняя общеобразовательная школа
имени Героя Советского Союза Н.Л. Яценко»
Махнёвой Екатериной Сергеевной

Научный руководитель -
учитель математики
Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения « Засосенская средняя общеобразовательная школа
имени Героя Советского Союза Н.Л. Яценко»
Михайличенко Зинаида Ивановна


Засосна, 2012

Оглавление

Стр.
Введение 3

Основная часть 5


Теоретическая часть работы 5
а) Блез Паскаль – французский математик 5
б) треугольник Паскаля как разновидность треугольника 5
в) свойства треугольника Паскаля и их применение в решении
задач 7



Практическая часть работы 9
а) составление последовательности тренировочных задач
по теме «Треугольник Паскаля» 9
б) создание презентации «Треугольники вокруг нас»

Заключение 10

Список использованной литературы. 11

Список приложений 12


Введение
В прошлом учебном году мы начали изучать новый предмет «геометрия».
Одна из глав курса геометрии называется «Треугольники». Меня очень заинтересовала данная тема. Я всегда хотела узнать много нового о треугольниках. Ведь мир треугольников очень загадочен и интересен. Я хочу узнать как можно больше о происхождении треугольников, об их значении в нашей жизни.
Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Изучая литературу, я узнала, что в Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.
В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, символизирует огонь и отвечает идее вознесения, духовности, красному цвету. Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь, соответствующий синему цвету. Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду; мудрость, порождающую главную идею; зеленый цвет. Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю, неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету. Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла. Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы.
Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.
Существует множество видов треугольников, но больше всего меня заинтересовал треугольник Паскаля.
Актуальность проекта
Данный проект предназначен для выявления того, насколько широко треугольники используются в практической жизни.

Новизна проекта
Новизна моего исследования состоит в том, что я попыталась показать связь треугольников с жизнью.

Практическая значимость проекта
Данный проект может быть использован как дополнительный материал к урокам геометрии, для внеклассной работы по математике.

Цель проекта
- ознакомиться с треугольником Паскаля как разновидностью треугольников;
- рассмотреть применение треугольника Паскаля в различных сферах;
- подготовить презентацию, содержащую полученные результаты и                   продемонстрировать её другим учащимся на уроке.      
Гипотеза
Если числа треугольника Паскаля обладают особыми свойствами, то его можно считать волшебным.
Задачи
- изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»;
- выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;
- определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;
- сформулировать вывод и итоги исследования;
- создание иллюстративного компьютерного материала по треугольникам;
- выступить с презентацией своей творческой работы.

Объект исследования: треугольник как геометрическая фигура

Предмет исследования: свойства треугольника Паскаля

Методы исследования:
- аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;
- поиск информации в интернет - ресурсах.

Направления работы:
- выбор проблемы, источников литературы, составление плана;
- работа с литературой и другими источниками;
- обработка полученных данных;
- анализ результатов, формулирование вывода;
- мультимедийная подготовка.

Основные этапы проекта: подготовительный; деятельностный;
ход исследования; рефлексивный; аналитический; презентационный.13 EMBED Equation.3 1415

Теоретическая часть работы
Блез Паскаль – французский математик
Блез Паскаль (19 июня 1623, Клермон-Ферран, 19 августа 1662, Париж) французский математик, физик, литератор и философ.
Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных новых направления математических исследований. В возрасте шестнадцати лет написал замечательный трактат о предмете проективной геометрии и в 1654 году переписывался с Пьером де Ферма по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики.
Треугольник Паскаля как разновидность треугольника
Изучая разновидности треугольников, я выяснила, что треугольник Паскаля арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников. Ещё я узнала из книги "Математические новеллы" (М., Мир, 1974) Мартина Гарднера, что "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".
Я рассмотрела схему построения треугольника, предложенную Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе»: предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смайликом, а тремя, соответственно - розовыми. Это один из вариантов построения треугольника. ( Приложение 1)
Изучая специальную литературу, я узнала, что еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали, но не будем придираться, такая терминология встречается в публикациях), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи. Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее. А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире такое невозможно, только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов. А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты. Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра и в виде плоского треугольника. А 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить в обычный привычный трехмерный тетраэдр, однако, если бы мы попытались выложить из 56 ядер треугольник, то одно ядро осталось бы лишним. ( Приложение 2)
Треугольник Паскаля имеет применение в теории вероятностей и обладает замечательными свойствами.

Свойства треугольника Паскаля и их применение в решении задач
Изучая свойства треугольника Паскаля, я рассмотрела одно из свойств биномиальных коэффициентов:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Данное равенство показывает, что биномиальные коэффициенты можно последовательно выписывать в виде треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля. В n-ой строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], причем каждый коэффициент, кроме крайних двух, которые равны 1, равен сумме соответствующих коэффициентов из предыдущей строки.
Я узнала, что треугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел. В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля "Трактат об арифметическом треугольнике", изданном в 1665 г. уже после смерти автора. Более точно, в указанном сочинении была опубликована следующая таблица, в которой каждое число А равно сумме предшествующего числа в том же , что и А, горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же, что и А, вертикальном ряду:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего "треугольника". Приведу для примера лишь 3 свойства "треугольника", найденные самим Паскалем; при этом буду исходить из того расположения "треугольника" на плоскости, какое было указанно Паскалем, и говорить о горизонтальных и вертикальных рядах. Свойство 1: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А (в котором клетки, содержащие слагаемые, дающие в сумме А, заштрихованы). [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
рис.1 рис. 2 рис. 3
Свойство 2: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А. Рис. 2. Свойство 3: Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются). Рис. 3.
Таким образом, наш треугольник отличается от "треугольника" рассматриваемого самим Паскалем, поворотом на 45 градусов.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Я пришла к выводу, что рассмотренные свойства треугольника Паскаля подтверждают слова Мартина Гарднера о том, что треугольник Паскаля одна из наиболее изящных схем во всей математике.
Актуальность исследования обусловлена ежегодным усложнением заданий ГИА и ЕГЭ, что требует углубленных знаний не только в алгебре, но и в геометрии.





Практическая часть работы
1. Решите следующие задачи
В своей практической работе я подобрала ряд задач по теме «Треугольник Паскаля»
1. В числовом треугольнике [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
как известно, каждое число равно сумме чисел, расположенных в предыдущей строке над этим числом и над его соседями справа и слева. Доказать, что в каждой строке, начиная с третьей, найдется четное число. 2. Первая строка числового треугольника
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
состоит из чисел 0,1,...,1958. Элементы каждой следующей строки являются суммами элементов предыдущей строки, стоящих слева и справа от данного числа. Доказать, что элемент последней строки треугольника делится на 1958. 3. Существует ли в треугольнике Паскаля число 2010? 4. Найти сумму биномиальных коэффициентов десятой строки треугольника Паскаля. 5. Выпишите разложение (2a-b).       6.Найдите коэффициент разложения   (a+3b) для слагаемого, содержащего буквенную часть, равную аb.   7. В пятнадцатой строке прочередуйте знаки “+” и ”-“. Чему равно значение полученного выражения? 8. Какое число, большее 1, содержится в треугольнике Паскаля более трёх раз? четырех раз? 9. Сколько нечетных чисел в 8-ой строке, в 16-ой, 32-ой?   10. Во сколько раз сумма чисел в 12-ой строке треугольника больше суммы  чисел в 7-ой строке? 11. Сколькими способами шахматный король может пройти из левого нижнего угла в правый верхний? 12. Сколькими способами можно решить правильно 4 уравнения из 9?
2. Геометрия вокруг нас Исследовала практическую значимость треугольников в окружающей нас жизни. (Приложение 5)
Заключение
Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: были определены объектная область, объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема, обоснована актуальность.
В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства.
Я пришла к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Практическая значимость данной работы заключается в следующем:
я, изучив много литературы по данному вопросу, получила дополнительные знания в области математики, укрепила свой интерес к этой науке.
Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.






Список использованных источников и литературы

1. Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля
2. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы.  М.: Мир, 1974.  456 с. 3. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.
4. Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003
5. Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. 1970. № 6. С. 17-25.
6. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.
7. http://ru.wikipedia.org/wiki/
8. Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
















Список приложений
Стр.
Приложение 1. Построение треугольника Гуго Штейнгаузом
в «Математическом калейдоскопе» 13
Приложение 2. Треугольник Паскаля 13
3. Приложение 3. Узоры треугольник Паскаля 14

4. Приложение 4. « Геометрия вокруг нас» 14


















Приложение 1. Построение треугольника Гуго Штейнгаузом в «Математическом калейдоскопе»


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Приложение 2. Треугольник Паскаля

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Приложение 3. Узоры треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415


Приложение 4
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415


13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415 13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415
13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415 13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415

13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415 13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415


13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415 13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415


13 EMBED PowerPoint.Slide.8 1415








13PAGE 15


13PAGE 141015





Устройство треугольника Паскаля:
каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.
Все элементарно, но сколько в этом таится чудес.
Треугольник можно продолжать неограниченно.

Треугольник
Паскаля.



Root Entry

Приложенные файлы


Добавить комментарий