Степень с натуральным показателем

Описание методической разработки


Матюхина Оксана Анатольевна,
учитель математики,
МОУ «СОШ №5 с УИОП»

Внеклассное занятие "Степени с натуральным показателем"


Краткая аннотация: В настоящее время обучение творческих, неординарно мыслящих,   способных   нестандартно   решать   поставленные   задачи,  детей, должно быть составной частью образовательного процесса. Данное занятие "Степени с натуральным показателем" не только повышает интерес к изучению математики, но и создает условия для развития творческих способностей одаренных учащихся, необходимых познавательных умений, таких как: способность подмечать, рассуждать и выдвигать объяснения.
Учебный предмет: математика.
Цели и задачи: Основная цель занятия - продолжить работу по углублению и расширению знаний учащихся по теме «Степени с натуральным показателем», изученных в этом учебном году, развитию познавательного интереса учащихся к изучению темы. Ознакомить учащихся с новыми методами решения задач на сравнение степеней с натуральными показателями, на определение цифры, на которую оканчивается число, рассмотреть задачи на делимость выражений, содержащих степени с натуральным показателем. Продолжить формирование навыков исследовательской, самостоятельной работы.
Участники занятия: учащиеся 7 «Б», посещающие часы дополнительных занятий.
Оборудование: мультимедийный проектор, название темы занятия, презентация с задачами.
Ход занятия
1. Сегодня мы рассмотрим ряд задач на сравнение степеней с натуральными показателями.
Задача 1 (слайд №3)
Сравнить 3111 и 1714.
Решение:
Числа 31 и 17 находятся рядом со степенями числа “2” (32=25, 16=24).
3111<3211= (25)11=255, т.е. 3111< 255.
16<17 ; 1614<1714, (24)14<1714.
3111<255<256<1714 следовательно 3111<1714.
Задача 2 (слайд №4)
Сравнить 999710 и 1000038.
Решение:
999710<1000010=(104)10=1040. 999710<1040.
1040=(105)8=1000008/
1000008<1000038.
Значит, 999710<1000038.
Задача 3 (слайд №5)
Что больше 5300 или 3500?
Решение:
5300=53 100=(53)100=(5 5 5)100=125100.
3500=35 100=(3 3 3 3 3)100=243100.
125<243 следовательно 125100<243100 следовательно 5300<3500.
Ответ: 5300<3500.
2. Задачи на определение цифры, на которую оканчивается число (слайд №6)
Натуральные числа обладают следующим свойством: при умножении ряда чисел, оканчивающихся единицей или “5”, получается число, оканчивающиеся той же цифрой. Например:
22375 12735 = ..5. 281 381 = .1
58128911=581 581581 = ..1.                     28911 раз
Всякая степень числа, оканчивающаяся на “5”, тоже оканчивается на “5”. Если число оканчивается “6”, то всякая степень числа оканчивается “6”.
2861237 оканчивается “6”.
Если число оканчивается 76, то любая его степень оканчивается “76”.
28764оканчивается 76.
Если число оканчивается 25, то любая его степень оканчивается “25”.
Рассмотрим задачи такого типа.
Задача 1 (слайд №7)
Какой цифрой оканчивается число 32011?
Решение:
31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729.
Заметим, что 31 и35 оканчиваются на одну цифру “3”, 32 и 36 – тоже на одну цифру “9”. Последняя цифра повторяется через 4, т.е. в общем виде число 34m+n заканчивается той же цифрой, что и 3n
2011=4 х 502 +3.
32011=34 х 502 +3 оканчивается той же цифрой, что 33, т.е. на 7.
Ответ: на 7.
Задача 2
На какую цифру оканчивается число 32004+42005?
Решение:
32004
оканчивается на 1 (первая задача).

41=4 42=16 43=64 44=256 45=924
Если степень числа 4 – нечётное число, то число оканчивается на “4”, если степень чётная, на “6”. 2005 – нечётное число, значит 42005 оканчивается на “4”.

32004+42005
оканчивается на “5” (1+4=5).

Задачи на делимость
Задача 18)
Выяснить, делится ли на 3 число 1+2+22+23+24++22003+22004?
Решение:
Сгруппируем слагаемые:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Первое слагаемое делится на 3, второе нет, значит, сумма не делится на 3.
Задача 2 (слайд №9)
Доказать, что разность 9999932011 – 7777772009 кратна 5.
Решение:
Если оканчивается цифрой 3, то степени оканчиваются 3,9,7,1. Повторение через 4. в нашем случае 2011:4=502+3, 1999=4*502 +3. Значит, число 9999932011 оканчивается на ту же цифру, что число 33, т.е. на 7.
Если число оканчивается на 7, то степень числа оканчивается на 7,9,3,1. повторение через 4.
71=7
72=49
73=343
74=2401
75=16807
2009:4=502+1, 2009 = 4*502+1, значит 7777772009 оканчивается на туже цифру, что и число 71, т.е. на 7.
3. Разность данных чисел оканчивается на 0 (7–7=0), следовательно разность кратна “5”.
Задачи для индивидуального решения
Задача 1 (слайд №10)
Что больше 10020 или 900010?
Решение:
10020=1002 х10=(1002)10=(100 х100)10=100010.
1000<9000 следовательно 1000010<900010 следовательно 10020<900010.
Задача 2 (слайд №11)
Сравнить 12723 и 51318.
Решение:
127<128; 127<27; 12723<27 х23=2161.
512<513; 29<513; 29 х18<51318; 2162<51318.
12723<2161<2162<51318 следовательно 12723<51318.
Задача 3
Какая цифра будет последней в записи результата 95399999?
Решение:
если число оканчивается на 3, то его степень оканчивается на 3, 9, 7, 1. Повторение через 4.
99999:4=24999 +(3 ост.). 99999=4 х 24999 +3. Наше число имеет остаток такой же, что и 9533, т.е. число 7.
Задача 4
776776+777777+778778. Какой цифрой оканчивается сумма и кратна ли она 5.
Решение:
776776 оканчивается 6 (см. пред.задачи).
777777 оканчивается 7. если число оканчивается на 7, то его степени оканчиваются на 7,9,3,1, повторение через 4. 777=4 х 194+1. Значит, 777777 имеет последней ту же цифру, что и 71, т.е. оканчивается на 7.
778778
81=8
82=64
83=512
84=4096
85=32768 Степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4. 778778 оканчивается на ту же цифру что и 83, т.е. на 2. 778=4 х 194+3.
Наша сумма оканчивается на 5 (6+7+2=15).
Задачи для домашней работы (слайд №12)
Задача 1
Какой цифрой оканчивается число ((9999999)99)9 .
Решение:
91=9
92=81
93=729 Если степень четная, то число оканчивается на 1, если степень нечетная, то на 9.
999 оканчивается на 9, т.к. 9 – нечетное число
число 999 – нечетное, т.к. оканчивается на 9.
((99999)9 оканчивается на 9, т.е. оно нечётное.
((999999)99)9 оканчивается на 9, т.к. степень нечетная.
Задача 2
Что больше: 2700или5300? 2300или 3200.
Решение:
2700=(27)100=128100.
5300=(53)100=125100.
128>125 следовательно 128100>125100 следовательно 2700>5300.
1. 2300=8100 3200=9100.     8100<9100 следовательно 2300<3200.
Задача 3
Выяснить, делится ли на 3 число 1+2+22+23+24++22010+22011?
Задача 4
Найти последнюю цифру числа 82011.
Решение:
если число оканчивается на 8, то его степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4.
а4т+п имеет последней ту же цифру, что число ап.
2011=502 х 4 +3.
82011=84 х 502+3, значит, это число имеет ту же цифру, что и 83, т.е. оканчивается на 2.

Литература
Гусев В.А. и др. Внеклассная работа по математике в 6–8 классах. М.: Просвещение, 1984.
Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. М.: Просвещение, 1984.
Кордемский В.А. Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. М.: Просвещение, 1986.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука, 1978.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. М.: Просвещение, 1990.
Фарков А.В. Математические кружки в школе. М.: Айрис-пресс, 2007.

Заголовок 2 Заголовок 315

Приложенные файлы


Добавить комментарий