ЕГЭ геометрический смысл производной

Задача B  геометрический смысл производной
В задаче B дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:
Значение производной в некоторой точке x0,
Точки максимума или минимума (точки экстремума),
Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).
Вычисление значения производной. Метод двух точек
Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x0, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:
Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты  это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента
·x = x2 
· x1 и приращение функции
·y = y2 
· y1.
Наконец, находим значение производной D = 
·y/
·x. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента  и это будет ответ.
Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки  иначе задача составлена некорректно.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Рассмотрим точки A (
·3; 2) и B (
·1; 6) и найдем приращения:
·x = x2 
· x1 =
·1 
· (
·3) = 2;
·y = y2 
· y1 = 6 
· 2 = 4.
Найдем значение производной: D = 
·y/
·x = 4/2 = 2. Ответ: 2
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
·x = x2 
· x1 = 3 
· 0 = 3;
·y = y2 
· y1 = 0 
· 3 = 
·3.
Теперь находим значение производной: D = 
·y/
·x = 
·3/3 = 
·1. Ответ:
·1
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
·x = x2 
· x1 = 5 
· 0 = 5;
·y = y2 
· y1 = 2 
· 2 = 0.
Осталось найти значение производной: D = 
·y/
·x = 0/5 = 0. Ответ: 0


Вычисление точек максимума и минимума
Иногда вместо графика функции в задаче B дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) 
· f(x).
Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) 
· f(x).
Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:
Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной  и все.
Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x0 известно, что f’(x0) 
· 0, то возможны лишь два варианта: f’(x0) 
· 0 или f’(x0) 
· 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) 
· 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) 
· 0.
Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.
Эта схема работает только для непрерывных функций  других в задаче B8 не встречается.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [
·5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Избавимся от лишней информации  оставим только границы [
·5; 5] и нули производной x = 
·3 и x = 2,5. Также отметим знаки:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Очевидно, в точке x = 
·3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.
Ответ:
·3
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [
·3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [
·3; 7] и нули производной x = 
·1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус  это точка максимума.
Ответ: 5
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [
·6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [
·4; 3].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [
·4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [
·4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = 
·3,5 и x = 2. Получаем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.
Ответ: 1
Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = 
·3,5, но с тем же успехом можно взять x = 
·3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.
Нахождение интервалов возрастания и убывания функции
В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:
Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 
· x2 ,  f(x1) 
· f(x2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 
· x2 ,  f(x1) 
· f(x2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:
Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) 
· 0.
Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) 
· 0.
Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:
Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) 
· 0, функция возрастает, а где f’(x) 
· 0  убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [
·3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Как обычно, перечертим график и отметим границы [
·3; 7,5], а также нули производной x = 
·1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Поскольку на интервале (
· 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
·1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Ответ: 14
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [
·10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [
·10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = 
·8, x = 
·6, x = 
·3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) 
· 0. На графике таких промежутков два: (
·8; 
·6) и (
·3; 2). Вычислим их длины: l1 = 
· 6 
· (
·8) = 2; l2 = 2 
· (
·3) = 5.
Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l2 = 5.
Ответ: 5

Нахождение производной по графику касательной - функция возрастаетНахождение производной по графику касательной - функция убываетНахождение точки минимума по графику производной - без лишней информацииНахождение точки максимума по графику производнойПодсчет точек максимума на графике производнойПодсчет точек максимума на графике производной - без лишней информацииНахождение интервалов убывания функции - без лишней информацииНахождение интервалов возрастания функцииНахождение интервалов возрастания функции - без лишней информации Заголовок 1 Заголовок 215

Приложенные файлы


Добавить комментарий