Формулы сокращенного умножения
















Тема: «Формулы сокращенного умножения»







Провела: учитель математики
Колкова И.А.
Цели урока:
Образовательная - закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения, сформировать умения применять их в простых случаях и в заданиях повышенной сложности.
Развивающая - развить умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать, на историческом материале показать учащимся зависимость между математикой и общекультурными устремлениями человечества.
Воспитательная - воспитать ответственное, творческое отношение у учебному труду.
Тип урока: комбинированный
Оборудование.
Видеомагнитофон, тетради по алгебре с печатной основой, кодоскоп.
План урока.
Постановка цели урока.
Повторение формул сокращенного умножения.
Закрепление материала.
Письменная проверочная работа.
Проверка результатов письменной работы.
Работа с видеоматериалами.
Решение заданий повышенной сложности.
Подведение итогов урока.

ХОД УРОКА

Постановка цели урока.
Повторение формул сокращенного умножения.
(а ± b)2 = a2 ± 2ab +b2
а2 ( b2 = (а ( b)(а + b)
(а ± b)3 = a3 + 3a2b ( 3ab2 + b3
а3 ± b3 =(a ± b)( a2 ab + b2)
(а + b +с)2 = а2 + b2 + с2 + 2ab + 2bс + 2ас

Работа с тетрадями с печатной основой.
Один из учащихся комментирует решение, другие записывают решение примера в тетради.
Заполните пропущенные места:
а4 – 8а2+16 = ()
–12ab – 3а2 – 12b2 = () = ( )
25a6 + + 9b2 = (5a3 + 3b)2
16 – 8а2 b2 + = (4 – a2b2)2
(2a – )3 = 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3
(Зb + 2а)3 = 27 b3 + + + 8a3
125 + + 15a2 + = (5 + a)3
(3m – ) ( + 3m) = 9m2 – 4n2
(а2 + ) ( – b3) = а4 – b6

Письменная проверочная работа.
Вариант 1 Вариант 2
2х2 – 4х + 2 = 1) –5a2 – 10ab – 5b2 =
–3x2 + 12x – 12 = 2) –a2 + 10ab – 25b2 =
(2a + ) (2a – ) = 4 a2 – b2 3) (– 3x) ( + 3x) = 4y2 – 9x2

Проверка результатов письменной работы (включить кодоскоп, записи с решением примеров спроецировать на экран, прокомментировать, при необходимости обсудить решение примеров).
Вариант 1 Вариант 2
2х2 – 4х + 2 = 2 (x – 1)2 1) –5a2 – 10ab – 5b2 = –5 (a + b)2
–3x2 + 12x – 12 = –3 (x – 2)2 2) –a2 + 10ab – 25b2 = – (a – 5b)2
(2a + b) (2a – b) = 4 a2 – b2 3) (2y– 3x) (2y + 3x) = 4y2 – 9x2

Работа с видеоматериалами.

1 видеосюжет.
Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тысяч лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Но в то время они формулировались словесно или геометрически. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не "а2", а "квадрат на отрезке а", не "ab", а "прямоугольник, заключенный между отрезками а и b". Правило, сформулированное во второй книге "Начал" Евклида в III веке до нашей эры, звучало так: "Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками".
Запишите это правило формулой и докажите ее, исходя из геометрических соображений (рис.1).















Рисунок 1.


Ответ. Если прямая линия (имеется в виду отрезок) рассечена на 2 отрезка а и b, то квадрат на всей прямой, т.е. (а + b)2 равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками а и b, т.е. равен а2 + b2 + 2ab.
Значит, (а + b)2 = a2 +2ab + b2
Действительно, площадь квадрата со стороной (а + b) равна сумме площадей квадрата со стороной а, квадрата со стороной b и двух прямоугольников с длиной а и шириной b.

2 видеосюжет.
Много полезного узнали греческие ученые у вавилонян. Но история математики сложилась так, что эти открытия потом стали приписывать грекам. Например, одно из самых замечательных утверждений во всей геометрии до сих пор называют именем греческого математика – теоремой Пифагора. Оно формулировалось так: "Для любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах" (рис.2).



















Рисунок 2.


Многое из Вавилона ушло потом в другие восточные страны, в том числе в Индию. И в одной из древних индийских рукописей сохранился чертеж, взглянув на который можно убедиться в справедливости теоремы Пифагора. Докажите, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. с2 = а2+ b2, используя данный рисунок и формулу сокращенного умножения.

Ответ. Действительно, по рисунку видно, что (а + b)2 = с2 + 4S

а2 + 2аb + b2 = с2 + 4

а2 +2аb +b2 = с2 + 2ab

с2 = а2+b2 (рис. З)

















Рисунок 3
Почему это утверждение очень важно? Потому что с .его помощью можно вычислить длины наклонных. Чтобы найти расстояние от вершины шеста до конца его тени, не надо натягивать веревку. Достаточно измерить длину шеста и длину тени. Если взять веревку длиной в 12 локтей и завязать на ней узлы, разбивающие ее на 12 равных частей, то с помощью такой веревки можно построить прямой угол, натянув ее на 3 колышка. Считают, что так строили прямые углы египтяне, а треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетский.

Решение заданий повышенной сложности.

Представьте выражение 24ху в виде разности квадратов двух многочленов.
Решение.
24ху = 12ху + 12ху = 2х 6у + 2х 6у = (х + 6у)2 – (х – 6у)2
или 24ху = 2 6х у + 2 6х у = (6х + у)2 – (6х – у)2
или 24ху = 2 ху 6 + 2 ху 6 = (ху + 6)2 – (ху – 6)2
Представьте выражение 2а (а2 + 3b2) в виде суммы кубов двух многочленов.
Решение.
2а (а2 + 3b2) = 2а3 + 6ab2 = а3 + 3аb2 + а3 + 3аb2 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + а3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (а + b)3 + (а – b)3;
Представьте выражение 2b (3а2 + b2) в виде разности кубов двух многочленов.
Решение.
2b (3а2 + b2) = 6a2b + 2b3 = b3 + 3a2b + b3 + 3a2b = b3 + 3a2b + 3ab2 + a3 – (a3 + 3ab2 – 3a2b – b3) = (a + b)3 – (a – b)3.

Подведение итогов урока.

(
+

a2

a

a2

a

ab

ab

b2

a

b

b

b

b

a

c2

c2

b2

a

c

b

ab

2

a

c

b

a

a

a

b

b

b

c

c

c

c



15

Приложенные файлы


Добавить комментарий