методика обучения решению линейных неравенств с одной переменной


Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования Московской области
«Академия социального управления»
кафедра математических дисциплин
Самостоятельная работа № 1
Теоретические основы обучения теме «Методика обучения решению линейных неравенств с одной переменной» в условиях новой формы итоговой аттестации. Задачи с параметрами (в соответствии с темой ИПЗР)
Выполнил
слушатель учебного курса
«Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы»
учитель математики МАОУ Ямской СОШ Домодедовского р-на Семеняк Елена Викторовна. Руководитель курса: к.п.н., доцент кафедры математических дисциплин Е.Л. МардахаеваМосква, 2014

Стр.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Логико-дидактический анализ темы «Линейные неравенства с одной переменной».
§ 2. Подборка задач с параметром по теме «Линейные неравенства с одной переменной».
§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром по теме «Линейные неравенства с одной переменной».
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список литературы
3
5
7
10
11
§ 1. Логико-дидактический анализ содержания темы
«Линейные неравенства с одной переменной».
Тема «Линейные неравенства с одной переменной» по учебнику Алгебра 8 класс, авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, изучается в общеобразовательной школе в 8 классе.
Данная тема при изучении объединена с темой «Решение систем линейных неравенств с одной переменной». На изучение данных тем отводится 10 часов.
К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, изучив тему «Числовые неравенства и их свойства».
Основная цель – ознакомить учащихся с применением неравенств для оценки выражений, выработать умения находить объединение и пересечение множеств, изображать на числовой прямой и записывать числовые промежутки, решать линейные неравенства с одной переменной и применять их к решению задач. Знать, что при решении неравенств используются свойства равносильных неравенств. В этой теме рассматриваются также решение систем двух линейных неравенств с одной переменной, в частности таких, которые записаны в виде двойных неравенств.

Весь курс по теме «Линейные неравенства с одной переменной» строится в систематическом порядке. Степень сложности упражнений и их решения постепенно усиливается. Каждый параграф содержит примеры с подробным решением, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. А также есть условные обозначения в каждой теме для запоминания и материал, который важно знать.
Обобщение способов деятельности учащихся при решении линейных неравенств с одной переменной происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Линейные неравенства с одной переменной»:
Пересечение и объединение множеств
Числовые промежутки
Основные понятия (определение линейного неравенства с одной переменной, определение решения неравенства с одной переменной, определение строгого и нестрогого неравенства, определение решения системы неравенств с одной переменной)
Свойства, использующиеся при решении неравенств
Решение систем линейных неравенств с одной переменной
Решение задач с помощью и их систем
Обучение решению линейных неравенств с одной переменной начинается с простейших их видов, с постепенным усложнением тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное неравенство к простейшим.
Алгоритм решения линейного неравенства:
1. Раскрыть скобки
2. Перенести слагаемые с переменной и без переменной в разные части неравенства
3. Привести подобные слагаемые отдельно в каждой части неравенства
4. Разделить на коэффициент при переменной, изменив знак неравенства на противоположный, если этот коэффициент отрицательный
5. Записать ответ неравенством так, чтобы переменная находилась в левой части неравенства
6. Отметить промежуток на прямой.
7. Записать числовой промежуток.
Задачи
обязательного уровня повышенного уровня С параметрами
833-843
849-853
860,863-869 863,864
Примеры решения простейших линейных неравенств с одной переменной:
Линейное неравенство Решение и его геометрическая иллюстрация Примеры
1 aх> bХ>baba
(ba ; +∞)
3х > 6 ; x > 2
2

( 2; +∞)2 ах ≥ bХ ≥baba
[ba ; +∞ )6х ≥ -2; х ≥ -13-13
[ -13 ; +∞ ) 3 aх<bХ ˂ baba
( -∞; ba )
4х < 7; х < 1,75
1,75
( -∞ ;1,75) В итоге изучения материала темы учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научится использовать логические средства для обоснования решения.
§ 2. Подборка задач с параметром по теме «Линейные неравенства с одной переменной».
Из учебника «Алгебра 8 класс» , авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. М. «Просвещение» 2008г.
№863
Найдите множество значений а, при которых уравнение (а+5)х2+4х-20=0 не имеет корней.
№864
Найдите множество значений k, при которых уравнение (k-4)х2+16х-24=0 имеет два корня.
Из пособия «Уравнения и неравенства с параметрами» А.Х. Шахмейстер. М. «С.-Петербург» 2004г.
1 .(а2-1)х≥а+1
2. ах+4>2х+а23. а(3х-1) >3х-2
Из работы учителя математики Анпилоговой Л.Н «Методика обучения решению линейных неравенств с одной переменной».
Задания с параметром по теме «Линейные неравенства».
1. При каком значении а корень уравнения является числом положительным: а) 3х = а + 12; б) 6(х + 1) = 2а + 5; в) ах – 4 = х + 8?
В каждом случае возьмите какое-нибудь значение а из найденного множества и решите уравнение.
2. При каких значениях с уравнение не имеет корней: а) 2х2– 10х + с =0; б) -3х2- 2х + с=0?
В каждом случае ответьте, имеет ли уравнение корни при с, равном 10, 5; -0,5; -0,1; 0; 12,5; 15,7?
3. При каких значениях а уравнение имеет два корня:
а) ах2+ 2х + 6 =0; б) ах2 - 3х – 4=0?
4. Найдите все целые положительные значения с, при которых квадратный трехчлен 2х2 + 8х – с можно разложить на множители?
5. Найдите все целые отрицательные значения с, при которых квадратный трехчлен 5х2– 10х – с можно разложить на множители?
6. Решите неравенство (а – параметр);
а) 5х – а ˃ ах – 3; б) а(2х – 1) ˂ ах + 5; в) а(3 – х) ≥ 3х + а;
г) 3(2а + х) ˂ 1 – ах.
7. При каких значениях а уравнение 2х + 3=2а + 3х имеет положительное решение?
8. При каких значениях а уравнение 1 + 3х – ах = 2 + х имеет отрицательное решение?
9. При каких значениях а уравнение а(3х – а) = 6х – 4 имеет одно положительное решение?
10. При каких значениях а уравнение а(х – 1) = х – 2 имеет решение, удовлетворяющее условию х ˃ 1?
11. Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение
(3а – 5) х2- (6а – 2)х + 3а – 2=0 не имеет действительных корней.
§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Линейные неравенства с одной переменной».
Перед объяснением нового материала необходимо повторить понятие числовых промежутков, используя геометрическую интерпретацию понятий «больше» и «меньше». Повторение можно провести в устных упражнениях с использованием таблицы или при выполнении математического диктанта. Рекомендуется включить упражнения как на непосредственное чтение промежутков, определение наибольшего и наименьшего, а также целых значений в данных промежутках, так и на переход от простейших неравенств к геометрической интерпретации их в виде числовых промежутков.
Обратить внимание учащихся на то, что алгоритм решения линейных неравенств, содержащих одну переменную сходен с решением линейных уравнений. Единственная сложность – деление обеих частей неравенства на отрицательное число. Чтобы ученики поняли, почему меняется знак неравенства при делении на отрицательное число, можно поступить следующим образом: написать на доске «неверное» решение:
-2х ˃ 4; х ˃ -2 и убедиться, что числа из промежутка (-2;+∞) не являются решениям данного неравенства, а вот числа, из промежутка (-∞; -2) являются решениями. А как можно получить этот промежуток в решении? Надо взять симметричный промежуток
(-∞;-2). А как его получить без этих лишних действий? Надо поменять знак неравенства при делении на отрицательное число и ответ сразу будет верным. Можно рассмотреть еще несколько аналогичных примеров и убедиться, что это так.
Навык получения неравенства, равносильного данному при делении (умножении) на отрицательное число формируется путем решения большого числа устных упражнений.
Карточка – тренажер (уровень А)
1. Является ли решением неравенства 2 – 3х ˃ 3х + 1 число
а) -6; б) 0; в) -4; г) 1?
2. Решите неравенство:
а) 2 х˃ 6; б) -4х ˂ -28; в) 0,1х ≤ 4.
Указание: При решении неравенств надо учитывать, является ли коэффициент при х положительным или отрицательным числом.
3. Решите неравенство:
а) 15 + 6х ˂ х; б) 3 – х ≤ 4 + 6х; в) 6х – 1 ˃ 8 – хДля этого:
1) перенесите члены, содержащие переменную в левую часть, а свободные члены в правую часть неравенства;
2) приведите подобные члены в каждой части неравенства;
3) разделите обе части неравенства на коэффициент при х, сохраняя знак неравенства, если этот коэффициент является положительным и изменяя знак неравенства, если этот коэффициент является отрицательным числом.
4) изобразите промежуток на координатной прямой;
5) запишите ответ.
4. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
3(х – 4) -7 ˂ 3 – 2(х + 6)
5. Найдите наименьшее целое решение неравенства:3(1 – p) ≥ 2(2 – p) .
6.Докажите, что при любом значении переменной а выполняется неравенство: а) 3(а + 1) + а ˂ 4(2 + а); б) (а – 2)2 ˃ а(а – 4)
Карточка – тренажер (уровень Б)
1. Решите неравенства:
5х – (3х – 1)2 ˂ 9х(4 – х);
3х – 1 – (6х – 2)2 ˃ (2 – 3х)(1 + 12х) ;2х + 6 - (4х – 3)(1 – 16х) ˃ (3 – 8х);
(х + 5)(х – 2) – (х – 3)2 ˂ 7х + 1;
2. Решите неравенство 0,01(1 – 3х) ˃ 0,02х + 3,01 и найдите наибольшее значение х, удовлетворяющее ему.
3. При каком наименьшем целом значении х, график функции
лежит выше оси Ох:
а) у =15х+3; б) у = 4х – 17?
4. При каком наибольшем целом значении х, график функции лежит ниже оси Ох:
а) у = 74х-41; б) у = 2х – 5?
5. Найдите область определения выражения:
а) х-9; б) 2-х; в) 11-0,5х; г) -7х+66. Решите неравенство 23-х ˃0 и в ответе запишите наименьшее целое число, удовлетворяющее ему.
7. Решите неравенство 7-6х2 – 8х+13 ˂ -12 – 10х и в ответе запишите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее ему.
8. При каких значениях m двучлен 5m +8 принимает значения, большие чем 2?
9.При каких значениях d двучлен 13d – 22 принимает неотрицательные значения?
10. При каких значениях р значения двучлена 9р – 2 не меньше значений двучлена 3р + 4?
Задачи по теме «Линейные неравенства»
Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров?
Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько деталей он должен изготовить, чтобы перевыполнить план более чем на 7%?
Одна сторона треугольника равна 8см, а другая – 13см. Какой наименьшей длины может быть третья сторона?
Дачники прошли от поселка до станции расстояние в 10км. Сначала они шли со скоростью 4кмч, а затем увеличили скорость на 2кмч. Какое расстояние они могли идти со скоростью 4кмч, чтобы успеть на поезд, который отправляется со станции через 2ч после их выхода из поселка?
Выбирая место для ночлега, турист проплыл в лодке 8км, часть из которых по течению реки, а остальное – против течения. Скорость течения равна 1кмч.Сколько километров мог проплыть турист по течению реки, если на поиски места для ночлега он затратил менее полутора часов?
Турист решил проплыть на лодке некоторое расстояние по течению реки. а затем вернуться обратно, затратив на всю поездку менее 8ч. Скорость лодки в стоячей воде равна 6 кмч, а скорость течения реки -1.5кмч. Какое расстояние мог проплыть турист по течению реки?
При изготовлении бланков фирма берет по 60р за бланк и еще 115р за оформление заказа, а магазин продает бланки по 80р за бланк. Найдите наименьшее число бланков, при котором их выгоднее заказать фирме, чем купить в магазине.
Ученик задумал два последовательных целых однозначных числа. Увеличив каждое из них на 5, он заметил, что произведение полученных чисел оказалось больше, чем произведение исходных чисел. Какие числа мог задумать ученик?
Чтобы получить 100л теплой воды с температурой, не превышающей 40˚С, смешали холодную воду с температурой 12˚С и горячую воду с температурой 62˚С. Сколько холодной воды могло быть взято?
Из пункта А в пункт В, расстояние до которого 30км. со скоростью 15кмч выехал велосипедист. Встретившийся ему мотоциклист двигался в 4 раза быстрее и прибыл в А раньше, чем велосипедист в пункт В. На каком расстоянии от В могла произойти встреча?
При отборе задачного материала в каждой группе задач необходимо предусмотреть задачи для организации дифференцированной работы с учащимися. 
Технологическая схема обучения решению неравенств.
1) мотивация введения нового вида неравенств;
2) подведение к понятию нового вида неравенств и введение его определения;
3) классификация понятия нового вида неравенств, выделение частных случаев простейших неравенств;
4) решение простейших неравенств данного вида;
5) анализ действий, необходимых для их решения;
6) вывод алгоритма (формулы, правила) решения, его наглядное представление и отработка;
7) решение несложных неравенств данного вида, не являющихся простейшими;
8) анализ действий, необходимых для их решения с применением алгоритма;
9) формулировка частного приема решения, его наглядное представление;
10) применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях;
11) решение текстовых задач, приводящих к решению неравенств с помощью полученного частного приема;
12) сравнение полученных частных приемов решения;
13) применение обобщенного приема решения неравенств в различных ситуациях;
14) контроль знаний, умений и навыков учащихся на предмет соответствия требованиям стандарта.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Модернизация российского образования ставит перед учителем средней общеобразовательной школы задачу переосмысления своей педагогической деятельности, пересмотра подходов и методов преподавания, использования комплекса средств, формирующих универсальные учебные действия, которые помогут школьнику стать полноценной социальной личностью, стремящейся реализовать свои возможности, способной делать осознанный и ответственный выбор.
В проекте были выявлены теоретические основы темы: «Линейные неравенства с одной переменной», был выполнен отбор средств обучения теме, разработана таблица целей и технологическая схема обучения теме «Линейные неравенства с одной переменной».
Литература

Алгебра 8 класс: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. М. «Просвещение» 2008г.
Пособие для школьников, абитуриентов и учителей «Уравнения и неравенства с параметрами» А.Х. Шахмейстер. М. «С.-Петербург» 2004г.
Программы общеобразовательных учреждений Алгебра 7-9 М. «Просвещение» 2009г.
Алгебра 8 класс, дидактический материал, Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков

Приложенные файлы


Добавить комментарий